Chap 7 - 3 幂级数和Taylor展开式
一、幂级数的收敛域
定义形如
的函数项级数称为幂级数, 其中 称为系数
Abel 第 I 定理
- 若 在 收敛, 则当 时绝对收敛;
- 若 在 发散, 则当 时幂级数发散.
Proof
(1)
由 收敛知: (必要条件)
从而有界: ,使
故 且 收敛
比较判别法得: 收敛
(2)
(反证)若 使 且 是收敛点
由(1)知 是绝对收敛点,从而是收敛点,矛盾
推论 (幂级数收敛域情况)
幂级数 的收敛仅有三种可能情况:
-
仅在 收敛;
-
在区间 内绝对收敛, 而在 发散;
-
在 (绝对) 收敛.
三种情况可视为以原点为中心的区间, 其长度的一半 称为收敛半径, 称为收敛区间.
Proof
若非(1)(3),下证必为(2)
由非(1)知: 为收敛点
由非(2)知: 为发散点
为收敛点到原点的尽量大
令 是收敛点
则 (收敛)且E有上界
由确界原理:
- 当 时, ,据 定义
是收敛点,且
由Abel. I: x为绝对收敛点
- 当 时,即 , 即x为发散点。
二、收敛半径的计算
收敛半径公式
若 或 , 则幂级数 的收敛半径
- 理解:成反比
- 收敛域求法 先用比值法或根值法求收敛半径,再考察端点处的敛散性.
Tips
系数模:比值法(根值法)
Proof
(1)
若 则 ,
故 从而 发散
若 则
(达朗贝尔) 有
故 绝对收敛
有
故 从而 散
若 则 绝对收敛
例1 求下列幂级数的收敛域
中心非原点: 平移
(1) 比值(系数模)
由又当时收敛当时发散收敛域:
(2) #缺项幂级数 不能用比值法、根值法求收敛半径
- X看作参数(比值法), 寻找取值
- 变量替换:
当 时 比值法失效: Raabe
发散
故 时, 即 时收敛
例2 设 在 处条件收敛, 求其收敛区间
由 Abel.I Th. 当 时,即 时
冥级数收敛故
若 ,则 为绝对收敛点
为条件收敛点) 矛盾
故 ,收敛区间
由上题:
幂级数若有条件收敛点,则其到中心的距离就是收敛半径
Abel 第 II 定理
设 收敛半径为 , 则它在 内闭一致收敛; 若 时收敛, 则它在 一致收敛
(1)
则有,故奴收敛收敛W. Th.
即在 内闭U.C.
(2) 端点,无法使用W. Th.
其中 收敛 (不合 )
又奴 关于n怛
即一致有界
U.C.
三、幂级数的性质
幂级数的和函数 在收敛区间 内可导, 并有
且求导后的幂级数的收敛半径仍为 .
Proof 摘自教材 P281
先求 的收敛半径. 任取 , 存在 , 级数 收敛, 因此 有界, 所以
( 收敛:根/比值法)
因为 当 时收敛, 所以幂级数 在 绝对收敛. 也就是说 的收敛半径 .
如果 , 取 , 使得 收敛. 因为
所以 收敛, 矛盾(在收敛区间外部:发散), 因此 .
作为幂级数, 在 的任意闭子区间上一致收敛, 所以定理的结论在任意闭子区间上成立, 故在 内每一点成立.
推论 7.43 幂级数的和函数 在 内有任意阶导数, 而且
其收敛半径也为
定理 7.44 幂级数的和函数 在 内可积, 且有
并且积分后得到的幂级数的收敛半径仍为 .
Analysis
积分求导半径不变,由上可知
设 , 则
-
;
-
, 且可逐项求导, 即 :
- 可逐项积分, 即 :
Analysis
点态收敛(和函数定义已知)+导数级数连续、一致收敛(收敛半径仍然是R)
连续(条件已知)+一致收敛=>只需证内闭一致收敛即可
Abel 第 III 定理
设 ,
则 在 处左连续, 即
例3 求下列幂级数的和函数
(1) ;
(2) ;
(3)
Solution
求导:
令
故
又当 时 收敛, 由 Abel. II
故 在 右连续
即:
从而
即
若令
即:
例如
(2) . 令
则 提出来积分
由知
(3)
故
两边积分:
即
由于 ,代入得 ,即
You can't use 'macro parameter character #' in math modef(x)=e^x, \quad x \in \mathbb{R} $${ #102djc}
四、幂级数的运算
设 和 收敛半径分别为 和 , 记
, 则当 有
其中
- 注意,以上结论仅适用于
- 若 可能大于 :例如抵消之后为 ,则
Proof
其中故
例4 求幂级数 的和函数
Solution
由
及
故 原式
其中
即
五、函数的Taylor展开式
设 在 任意阶可微, 则称
为 在 处的 Taylor级数.
时称为 Maclaurin级数
注意 记号 “~” 的含义, 能否换为 “=” ?
满足何条件时, 其Taylor级数收敛于 ?
回顾 Taylor 公式
Taylor 级数
设 , 其中 , 则在 上
充分必要条件
注 由于计算 困难, 为此介绍下面的定理
充分条件
设 , 且 , 则
Lagrange 型余项:
若 在 上可展开为幂级数, 则该幂级数与其Taylor级数有何关系?
定理(唯一性)
若
则有
在
中令 的
对上式求导(逐项求导)
继续求导
单独写出
令
常用初等函数的幂级数
任意阶绝对值有界,满足
- #二项式函数
在 上恒成立
端点情形:
注 特别地, 有
几何级数
例5 将 在 展成幂级数
*当 时。
敛由此
例6 将 在 展成幂级数
故当时丩站比值失效
故
函数的幂级数展开方法
直接法 先求 , 再利用Taylor公式;
间接法 利用已知的幂级数展开式, 再结合变量
代换、逐项可导、逐项可积性.
例7 将下列函数在 处展成幂级数
例8 设 , 求级数 的和.
根据唯一性
从而
Ex. 设 求
利用幂级数可导出Euler公式
合法性见复变函数周期性
取 ,
(数学中 “最美” 等式)